ゲームの「5%」は、20回で必ず出る？

二十回挑戦したのに、まだ出ない

ゲームの敵を倒すと、5%で落とす珍しいアイテム。二十回倒せば5×20で100%、そろそろ確実に手に入ると思いたくなります。ところが、毎回独立で確率が変わらない抽選なら、二十回の間に一度以上出る確率は約64.2%です。約35.8%は、一度も出ない側に残ります。

この数字は、特定のゲームを調べた結果ではありません。毎回5%、互いに独立、条件は途中で変わらない、と決めた架空の模型の計算です。実際のゲームに保証や確率の変化があるなら、そのルールを入れ直す必要があります。

ここで面白いのは、運の良し悪しだけではなく、待ち時間の作られ方です。最初の一回が同じ5%でも、三つのルールを並べると、その後の経験は違ってきます。

「出る」を数える前に、「出ない」を掛ける

一回で出ない確率は95%、小数なら0.95です。二回とも出ない確率は、独立という条件のもとで0.95×0.95。二十回なら0.95を二十回掛けて、約0.3585になります。すべての結果からこの「一度も出ない」を除けば、一度以上出る確率が残ります。式は 1 − (0.95)^n です。

5%を回数だけ足す方法は、一度以上出る確率には使えません。二回で両方とも出るような結果を重なって数えてしまうからです。一方、二十回で手に入る個数の期待値なら20×0.05＝1個です。「平均の個数が1」と「一人ひとりが必ず1個」は違います。

百人が一斉に二十回挑戦する場面を想像すると、たくさん出る人も、出ない人もいます。この模型で約64.2%というのは、条件をそろえた集団の割合を考えるための確率で、百人集めれば毎回きっちり64人が成功するという約束ではありません。

十九回出なかった人に、抽選は借りを返す？

独立で確率が一定なら、十九回出なかった後の次の一回も5%です。過去の失敗によって、装置の中に成功の順番がたまるわけではありません。「十九回失敗する前」と「十九回失敗したと分かった後」では、私たちが持つ情報は違っても、次の抽選の規則は同じです。

ここで混同しやすいのは、最初から見た二十回以内の成功確率と、今から一回だけ試す条件付きの確率です。前者は二十回分の可能性を含みます。後者は、十九回の結果がもう決まっている人に残った一回の話です。

ただし、これは独立抽選という前提から出た結論です。失敗を記録して次回を有利にする設計も、別の模型としては作れます。ルールを読まずに「どのゲームでも次は5%」と一般化することはできません。

二十回目の保証は、長い待ち時間を切る

二つ目のルールでは、最初の十九回はそれぞれ5%の独立抽選にします。ただし、そこまで一度も出なかった人には二十回目で必ず渡します。初めの十九回までの成功確率は、一つ目の模型と同じです。二十回目に、まだ残っていた「出ない人」が全員成功します。

この模型の保証は、最初の一個を得るまでの話です。連続して遊び続けるときのリセット条件や、複数のアイテム間で保証を共有する規則は入れていません。単に「保証あり」と書くだけでは、その細部は分からないのです。

保証は、最初から当たりを均等に配る操作ではありません。早く出る可能性を残したまま、最も長い待ち時間に上限を設けます。図で二十回の手前と直後を切り替えると、同じ曲線が最後に跳ね上がる意味が見えてきます。

袋から一枚ずつ引くなら、失敗も状況を変える

三つ目のルールでは、一枚だけ当たりがある二十枚の札を、すべての並びが同じ確率になるように混ぜます。一枚ずつ取り出し、外れも袋へ戻しません。最初の一回は1/20で5%。一回外れたと分かれば、残る十九枚に当たりが一枚なので、次は1/19です。

この模型では、失敗するたびに残りの中身が変わります。n枚引くまでに当たりを得る確率は、nが二十以下ならn/20。十枚までなら50%、二十枚までなら100%です。保証の模型も二十回で100%ですが、途中の増え方が違います。

「どの位置にも当たりが来る確率は5%」という、まだ札を見ていないときの対称性と、「ここまで外れた人の次回の確率」は別です。順番を知らない状態での公平さと、結果を見た後の情報を分けると、シャッフルの面白さが一段深くなります。

どれが「公平」かは、守りたい体験で変わる

毎回同じ条件を保ちたいなら、独立抽選は説明しやすい設計です。長い不運を一定回数で終わらせたいなら、保証が働きます。一組の中に入っている当たりの数を決めたいなら、袋から戻さずに引く方法が合います。三つは、同じ公平さを別の方法で実現しているのではなく、守る条件が違います。

最初の当たりまでの回数の期待値も、この模型では独立抽選が20回、二十回保証が約12.83回、袋方式が10.5回です。保証は「平均はそのままで不運だけ消す」操作ではなく、この設定では平均も変えています。独立抽選は1/0.05、保証は最初の二十項の等比数列の和、袋は1〜20の平均から計算できます。

この比較は、どのゲームにも一つの正解を決めるためのものではありません。挑戦の短さ、失敗の重さ、友だちと比べる場面などによって、守りたい体験は変わります。

編集部の視点：確率の数字の次に、ルールを読む

本稿で試したかったのは、たくさん抽選して当たりを眺めることよりも、何が一定で何が変わるかを見抜くことです。画面に出た5%の後ろには、独立なのか、戻さず引くのか、どこで保証が入るのかという設計があります。

次にゲームで確率を見るときは、「一回の率」「一定回数までの成功」「最長の待ち時間」を分けて考えてみてください。結果が悪かったときにも、運の振れ幅の話なのか、想定したルールが違うのかを整理しやすくなります。

ここで示した計算は、特定サービスの公正さを認定したり、挑戦を重ねれば得だと勧めたりするものではありません。最初の小さな数字を、遊び全体の経験へ結びつけて読むための道具です。

編集上の視点 この節は資料の事実をもとにした比較・問いです。同一の原理や、新たな研究結果を示すものではありません。