A4をA3にするのに、なぜ「200%」ではなく「141%」？
紙の広さは2倍。でも縦横は約1.414倍。寸法表、半分に折る操作、コピー機の表示を行き来すると、A判に隠れた数学が見えてきます。
本文だけの読書時間の目安です。図や比較を見たり、操作したりする時間は含みません。
A4からA3への拡大は面積2倍、辺の長さは理想的には√2倍です。141%という設定、整数ミリの用紙寸法、理想の相似は、それぞれ精度と役割が違います。
A3はA4の2倍。それなら200%でコピーする？
A4の資料を、ひと回り大きなA3へ。紙の面積は2倍だから、拡大率も200%だろうと考えたくなります。ところがコピー機の定型変倍には、A4からA3への設定として141%が使われる例があります。キヤノンのTR9530aの公式仕様にも、その組合せが載っています。2倍と141%は、食い違っているのでしょうか。
この数字が説明しているものを、まず二つに分けます。紙が机の上を覆う広さは面積。印刷する文字や図の縦・横をどれだけ伸ばすかは、長さの倍率です。同じ「何倍」でも、何を比べた数かが違います。
一辺1センチの正方形を、縦にも横にも2倍にすると、一辺2センチになります。その中には元の正方形が四つ入ります。辺の長さを2倍にしたのに、面積は4倍。この小さな正方形の話が、A4をA3にするボタンの数字へ、そのままつながります。
READ THE COMPARISON / 図から、ひとつ発見
面積2倍と、辺2倍を並べてみる。
辺100%なら面積1倍。辺が約141.4%なら約2倍、辺200%なら面積4倍です。
面積の倍率 = 辺の倍率 × 辺の倍率
| 呼び名 | 短辺 × 長辺 |
|---|---|
| A4 | 210 × 297 mm |
| A3 | 297 × 420 mm |
比較の条件上の図は理想的な1：√2の長方形を同じ縮尺で比較した独自の計算図。実際のA判寸法にはmm単位の丸めがあります。コピー機の141%は辺の倍率の表示で、厳密な√2倍とは少し異なります。
辺の倍率を変えて確かめる →寸法表の数字を、二通りで比べる
リコーの公式の用紙寸法表では、A4は210×297ミリ、A3は297×420ミリです。面積を計算すると、A4は62370平方ミリ、A3は124740平方ミリ。後者を前者で割ると、確かにちょうど2倍になります。この二つの表示寸法に関しては、面積の2倍をそのまま確認できます。
ところが、短い辺どうしなら297÷210で約1.4143倍、長い辺どうしなら420÷297で約1.4141倍です。どちらの辺も2倍にはなっていません。縦も横も約1.414倍になって、二つを掛けた面積がおよそ2倍になるのです。二つの比がわずかに違う理由は、あとで寸法の表示まで戻って考えます。
別の置き方でも確かめられます。A4を同じ向きに二枚、長い辺どうしを接するように並べると、外側の寸法は420×297ミリ。これはA3を横向きにした大きさです。二枚を並べることと、一枚の中の図を拡大すること。その二つの操作を、混同せずに見るのが第一歩です。
面積を2倍にするには、辺を何倍にする？
縦横の比率を保ったまま図を拡大するとき、縦にも横にも同じ倍率を掛けます。その倍率をrとすると、面積の倍率はr×r、つまりrの二乗です。面積を2倍にしたければ、二乗して2になる正の数を選べばよい。それが√2で、およそ1.41421356です。
長さの倍率をパーセントへ直すと、約141.421%になります。141%という定型の数字は、ここに近い値です。面積は200%、辺は約141.4%。数字の後ろに「面積」「辺」を添えれば、同じ拡大を別の尺度で説明していると分かります。
では縦横を200%にしたらどうなるでしょう。A4の210×297ミリは420×594ミリになり、これは寸法表のA2に当たります。A3を一段飛ばして、面積4倍の紙へ進んでいるのです。「2倍のコピー」は、辺を2倍にするのか、紙の広さを2倍にするのか。一言確認するだけで、仕上がりの予想が大きく変わります。
半分に切っても似た形になる、という条件
A判の縦横比が1対√2であることにも理由があります。日本製紙連合会は、A0の長い辺を半分にするたびにA1、A2、A3、A4と進み、相似形を保ったまま面積が半分になる仕組みを説明しています。切って小さくしても、向きを変えれば元と同じ比率の形になるのです。
短い辺をa、長い辺をbとします。元の長方形の長辺と短辺の比はb÷a。長い辺を二等分してできた紙では、短い辺がb÷2、長い辺がaになるので、その比はa÷(b÷2)です。これらが同じなら、b÷a＝2a÷b。整理すると、(b÷a)の二乗が2になり、比は√2と決まります。
正方形を半分にすると細長い長方形になり、そのままでは同じ形を保てません。A判の比率は、ただ見栄えがよいから選んだ数字として眺めるより、「半分にして、向きを変えても同じ形」という条件から眺めるほうが、働きがよく見えます。紙を折る操作と、相似の計算が重なる地点です。
番号が一つ増えると、半分になる
A判の出発点となる理想のA0は、面積が1平方メートルです。そこから一回半分にすればA1、二回ならA2、三回ならA3、四回ならA4。したがって、理想の面積は順に1、2分の1、4分の1、8分の1、16分の1平方メートルと並びます。
番号が大きいほど紙が小さいのは、何回半分にしたかを数えているからです。A4からA3へ戻るなら半分にする操作を一回戻すので面積2倍、A4からA2なら二回戻すので面積4倍になります。そのたびに辺へ掛かる倍率は√2。二段戻せば√2×√2で2になることも、先ほどの200%と一致します。
このように、紙の番号は単なる商品名として覚えるほかに、半分にする回数としても読めます。ただし、ここで並べた分数は系列を作る理想の関係です。実際の寸法表では辺が整数ミリで示されているので、すべての判型の面積が分数どおりに完全一致する、とまでは考えないでください。
√2と、297ミリと、141%は別の精度の数字
理想の比率√2、寸法表の整数ミリ、機器に用意された整数パーセントは、違う精度で表された数字です。A4の210ミリを√2倍すると約296.985ミリ、297ミリを√2倍すると約420.021ミリになります。数学的には同じ倍率でも、寸法表の297×420ミリとは、ごく小さな差が残ります。
先ほど短辺どうしの比が約1.4143、長辺どうしの比が約1.4141になったのも、この違いです。整数の表示寸法だけで比を計算すれば、理想の相似と完全に同じにはなりません。表が示す実用の寸法と、系列を説明する理想の図形を区別すると、矛盾に見えなくなります。
さらに、表示された141%をそのまま長さへ掛ける模型なら、210×297ミリは296.1×418.77ミリになります。これは指定倍率の算術で、実機で測った印刷結果ではありません。141%という数字だけを見て「√2と完全に同じ」「A3の端まで必ず一致する」とは言えないのです。
紙の外寸と、印刷できる範囲も分ける
用紙の外側の寸法が分かっても、原稿の端までどう印刷されるかは別の話です。機器や設定には、用紙に合わせる自動変倍や、フチを残すかどうかといった条件があります。幾何学の計算で求めた倍率だけから、実際のページの収まりまで決めることはできません。
キヤノンの同機種の仕様には自動変倍がある一方、フチなしコピーでは原稿よりわずかに拡大し、用紙からはみ出した部分を印刷しないという説明があります。これは特定機種の仕様例ですが、用紙に隙間なく載せることと、原稿を欠けずに全部載せることが、いつも同じ操作ではないと分かります。
資料を拡大するときは、まず原稿と出力用紙のサイズを確かめ、次に長さの倍率を見て、最後に余白や自動調整の設定を確かめる。この順に分ければ、数式が間違っているのか、設定が別の調整をしているのかを追いやすくなります。紙の数学は、印刷機の条件と組み合わせて使うと実用につながります。
コピーの倍率に、単位を書き添える
A4からA3への拡大に現れる、2倍と141%という二つの数字。前者は面積を、後者は辺の長さを表しています。同じ図を拡大していても、何を測るかで倍率は変わります。そこに整数ミリの寸法表と機器の設定が加わるため、理想の√2と表示の141%も分けて読む必要がありました。
紙を二枚並べれば、広さの2倍を確かめられます。長辺を半分にすれば、形を保つ比率を考えられます。寸法表の二つの数を掛ければ面積、割れば辺の比が出てきます。一枚の紙が、同じ対象を別の量で比べるための、小さな実験台になります。
次に「大きさを2倍にして」と頼まれたら、縦横なのか面積なのかを思い浮かべてください。コピー機の141という半端に見える数字は、形を保ったまま広さを変えるための手掛かりです。見慣れたA4の隅には、折り方と比率と丸めの話が、きれいに重なっています。
出典と確認メモ
一次資料・専門機関の解説をもとに、独自に構成しました。
本文の調査・構成・英訳には生成AIの補助を用いています。出典との照合や編集上の点検を行っていますが、専門家や英語母語話者による独立したレビューは未実施です。
- 日本製紙連合会紙のQ&A／紙のサイズはどのように決まっているのですか？ ↗（新しいタブで開く）
- リコー用紙／サプライ技術情報 ↗（新しいタブで開く）
- キヤノンTR9530a 仕様／コピー基本仕様 ↗（新しいタブで開く）
確認日：
日本製紙連合会、リコーの寸法表、キヤノンの公式機種仕様を開き、相似と半裁、A4/A3/A2の表示寸法、141%の定型変倍とフチなしコピーの注記を照合しました。面積・倍率・出力寸法の例は独自の算術で、紙や複写機の測定ではありません。ISO/JIS規格本文の丸め方法・許容差や、機器の内部処理を読んで確認したとは扱いません。
この記事の権利・状態・変更履歴
- 状態
- 無料公開版。制作・更新履歴は以下に記録しています。
- 版
- 0.1.1
- 本文・図解の権利
- 本文は独自の日本語要約。SVGと概念図は新規作成。外部画像・原文・音源の転載なし。
- 資料の扱い
- リンクによる参照のみ。各出典の権利は各権利者に帰属します。
- · v0.1.0 — 一次資料・専門機関の説明を照合し、独自の比較と図解を備えた非公開プレビュー原稿を作成。看板特集へ接続。正式公開は未承認。
- · v0.1.1 — v17の地球・人類特集へ、理由付きの寄り道を追加。既存の本文・比較条件・出典・資料確認日は変更なし。
また読み返すなら。
次の一冊へ
隣の棚で、つながる一冊。
つながりは、題材を読み比べるための比較や連想です。異なる題材が同じ原理で動く、という主張ではありません。
地図の「大きく見える」を、面積で確かめる
ここでは縦横の倍率と面積の倍率を分けました。地図では投影法によって場所ごとの拡大が違います。同じ相似拡大として扱えない理由を知ると、見た目の比較をさらに慎重に読めます。
地図の「大きい」は、どこまで本当か。紙の大きさから、文字を移す向きへ
用紙を拡大しても文字の形の比率は保ちたい。その文字を版から紙へ移すときには、今度は左右の反転が関わります。長さの変換から、向きの変換へ進む寄り道です。
鏡文字を並べるだけでは、活版の文章は読めない？二倍にするのは、体積か重さか
紙では辺を2倍にすると面積が4倍になりました。台所では同じ15mLでも中身によって重さが違います。数字だけで倍にせず、比べている量と単位をそろえる見方を使います。
大さじは同じ。上白糖9g、水15g、塩18gのなぜ紙のものさしから、岩石の時計へ
拡大率と面積を分けて読んだあとは、時間を測るものさしへ。古い鉱物の年齢と、地球そのものの年齢は、どうつながるのでしょう。
地球はいつ「できた」のか。岩石の時計から海の手掛かりまで